(人教版)已知:二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点,交y轴正半轴于点C,且x12+x22=10. (1)求此二次函数的解析式; (2)是否存在过点D(0
题目
(人教版)已知:二次函数y=x
2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x
1,0)、B(x
2,0)两点,交y轴正半轴于点C,且x
12+x
22=10.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)是否存在过点D(0,-
)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于点E,使得点M、N关于点E对称?若存在,求直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
答案
(1)因为x
12+x
22=10,
所以(x
1+x
2)
2-2x
1x
2=10,根据根与系数的关系,(m+1)
2-2m=10,
所以m=3,m=-3,
又因为点C在y轴的正半轴上,
∴m=3,
∴所求抛物线的解析式为:y=x
2-4x+3;
(2)过点D(0,-
)的直线与抛物线交于M(X
M,Y
M)、N(X
N,Y
N)两点,与x轴交于点E,使得M、N两点关于点E对称.
设直线MN的解析式为:y=kx-
,
则有:Y
M+Y
N=0,(6分)
由
,
x
2-4x+3=kx-
,
移项后合并同类项得x
2-(k+4)x+
=0,
∴x
M+x
N=4+k.
∴y
M+y
N=kx
M-
+kx
N-
=k(x
M+x
N)-5=0,
∴y
M+y
N=k(x
M+x
N)=5,
即k(k+4)-5=0,
∴k=1或k=-5.
当k=-5时,方程x
2-(k+4)x+
=0的判别式△<0,直线MN与抛物线无交点,
∴k=1,
∴直线MN的解析式为y=x-
,
∴此时直线过一、三、四象限,与抛物线有交点;
∴存在过点D(0,
−)的直线与抛物线交于M,N两点,与x轴交于点E.使得M、N两点关于点E对称.
(1)令y=0,即x
2-(m+1)x+m=0,根据一元二次方程根与系数的关系及x
12+x
22=10,可求出m的值,再根据图象与y轴正半轴交于点C,可求出函数的解析式;
(2)根据题意,设出一次函数解析式y=kx-
,若能求出比例系数,则可证明此直线存在.
二次函数综合题.
此题巧妙利用了一元二次方程根与系数的关系.在(2)中,将直线与抛物线的交点问题转化为根与系数的关系解答,考查了同学们的整体思维能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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