高数证明单调性

题目

高数证明单调性
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内f''(x)>0,证明：
φ（x)=[f(x)-f(a)]/(x-a)在（a,b)内单调增

答案

φ'(x)＝[(x-a)f'(x)－(f(x)-f(a))]/(x-a)^2,由Lagrange中值定理,存在ξ∈(a,x),使得f(x)-f(a)＝f'(ξ)(x-a),所以
φ'(x)＝[(x-a)f'(x)－f'(ξ)(x-a)]/(x-a)^2＝[f'(x)－f'(ξ)]/(x-a)
因为在(a,b)内f''(x)＞0,所以f'(x)在(a,b)内单调增加,所以f'(x)－f'(ξ)＞0.
所以在(a,b)内φ'(x)＞0,所以φ(x)＝[f(x)-f(a)]/(x-a)在（a,b)内单调增