已知函数f(x)=ax+b/x(a、b是常数)满足f(1)=5/2,f(2)=17/4,(1)求a、b.(2)试判断...

已知函数f(x)=ax+b/x(a、b是常数)满足f(1)=5/2,f(2)=17/4,(1)求a、b.(2)试判断...

题目
已知函数f(x)=ax+b/x(a、b是常数)满足f(1)=5/2,f(2)=17/4,(1)求a、b.(2)试判断...
(2)用定义证明函数f(x)在区间(0,1/2)上是减函数.(请写出详细的证明过程.)
答案
(1)
f(1)=a+b=5/2 ①
f(2)=2a+b/2=17/4 ②
由①×2-②得
3b/2=3/4
b=1/2
所以a=5/2-b=2
(2)
f(x)=2x+1/(2x)
任取0<x1<x2<1/2
f(x2)-f(x1)=2x2+1/(2x2)-2x1-1/(2x1)
=(x2-x1)(4x1x2-1)/(2x1x2)
因为0<x1<x2<1/2
所以x2-x1>0
4x1x2-1<4×1/2×1/2-1=0
所以f(x2)-f(x1)<0
即f(x2)<f(x1)
故函数f(x)在区间(0,1/2)上是减函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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