已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x,则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是_.
题目
已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x,则满足不等式f(x)>0的x的取值范围是______.
答案
∵函数f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x),∵x<0时,-x>0,
∴f(-x)=log
2(-x)=-f(x),即f(x)=-log
2(-x),
当x=0时,f(0)=0;
∴f(x)=
| log2x,x>0 | 0,x=0 | −log2(−x),x<0 |
| |
当x>0时,由log
2x>0解得x>1,当x<0时,由-log
2(-x)>0解得x>-1,
∴-1<x<0,综上,得x>1或-1<x<0,故x的取值范围为(-1,0)U(1,+∞).
故答案为:(-1,0)U(1,+∞).
首先令x<0,则-x>0,结合已知条件和奇函数的性质,求出此时f(x)的解析式,又f(0)=0,故f(x)在R上的解析式即可求出,然后分x>0和x<0两种情况分别求出f(x)>0的解集,最后求其并集.
对数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合.
本题通过不等式的求解,考查了分段函数解析式的求法和奇函数的性质,同时考查了转化思想和分类讨论思想以及学生的基本运算能力,是高考热点内容.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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