正方形ABCD中,P为对角线AC上的任意一点,PE⊥AD于点E,PF⊥CD于F,连接EF和BP,判断BP和EF的位置关系证明

题目

正方形ABCD中,P为对角线AC上的任意一点,PE⊥AD于点E,PF⊥CD于F,连接EF和BP,判断BP和EF的位置关系证明

答案

证明：
连接PD,延长BP,交EF于点G
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP
∵AP=AP
∴△ABP≌△ADP
∴PB=PD,∠ABP=∠ADP
∵四边形PFDE是矩形
∴PB=PD
易得∠ADP=∠EFP
∵PF∥AB
∴∠ABP=∠EPG
∴∠EPG=∠PFG
∵∠EPG+∠FPG=90°
∴∠PFG+∠FPG=90°
∴∠PGF=90°
即BG⊥EF