已知S=1/2-2/4+3/8-4/16+...+（-1)^(k-1)(k/2^k)+...+(2005/2^2005)-（2006/2^2006)

题目

已知S=1/2-2/4+3/8-4/16+...+（-1)^(k-1)(k/2^k)+...+(2005/2^2005)-（2006/2^2006)
RT要过程今天限
则小于S的最大整数是

答案

S=1/2-2/4+3/8-4/16+...+（-1)^(k-1)(k/2^k)+...+(2005/2^2005)-（2006/2^2006)
(1/2)*S=1/4-2/8+3/16-4/32+...+（-1)^(k-1)[k/2^(k+1)]+...+(2005/2^2006)-（2006/2^2007)
两式相加,得
(3/2)S=1/2-1/4+1/8-1/16+…………+1/2^2005-1/2^2006+1/2^2007
=(1/2+1/8+1/32+…………+1/2^2005+1/2^2007)-(1/4+1/16+…………+1/2^2004+1/2^2006)
=(1/2)[1-(1/4)^1004]/(1-1/4)-(1/4)[1-(1/4)^1003]/(1-1/4)
=(2/3)*[1-(1/4)^1004]-(1/3)*[1-(1/4)^1003]
=1/3+(1/6)*(1/4)^1003
∴S=2/9+（1/9）*（1/4）^1003
结果还可以写成S=2/9+1/(9*4^1003)或者写成S=2/9+1/(9*2^2006)
容易看出：
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