复变函数 留数积分问题

题目

复变函数 留数积分问题
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-----------------------在|z|=2中的积分 怎么用无穷远点积分简化做题?
(z-1)^10*(z+3)

答案

因为在积分区域|z|=2中,被积函数只有z=1这个十阶极点,所以积分值为2πiRes[f(z) ,1].
但是这个计算过程太繁琐,根据柯西推广定理,我们得到Res[f(z) ,1]=-(Res[f(z) ,-3]+Res[f(z) ,无穷]),所以计算以上两个留数的和,就是被积函数在z=1处的留数.
算出来Res[f(z) ,-3]=1/(-4)^10；Res[f(z) ,无穷]=-Res[f(1/w)*(1/w^2) ,0]=0.