求与直线l：2x-y+5=0垂直,且与圆C：x^2+y^2+2x-4y+1=0相切的直线方程

题目

求与直线l：2x-y+5=0垂直,且与圆C：x^2+y^2+2x-4y+1=0相切的直线方程

答案

方法一：
与直线2x-y+5=0垂直的方程可写为：y=-1/2+b
解方程：y=-1/2+b
x^2+y^2+2x-4y+1=0
5/4 x^2 +(4-b)x +b^2 -4b +1=0
因为相切.所以只有一个解.故△=0
(4-b)^2=5（b^2-4b+1)
解得：b=3/2±√5
直线方程为：
y=-1/2x+3/2 ±√5
方法二：
x²+y²+2x-4y+1=0
(x+1)²+(y-2)²=4
圆心为(-1,2)半径=2
和2x-y+5=0 垂直
则k=-1/2 所以可设直线为y=-x/2+b
圆心到此直线距离=半径=|2-1/2-b|/根号下(5/4)=2
(3/2-b)²=5
3/2-b=±根号下5
b=3/2±根号下5
所以直线为y=-x/2+3/2±根号下5