设f（x）在【0,1】上连续可导,且f（1）=2∫ x三次方*f（x）dx,（上限1/2,下限0）证明：

题目

设f（x）在【0,1】上连续可导,且f（1）=2∫ x三次方*f（x）dx,（上限1/2,下限0）证明：
必有点k属于（0,1）,使得k*f”（k）+3f（k）=0

答案

由积分中值定理：对于 ∫ x三次方*f（x）dx,（上限1/2,下限0）
存在η∈[0,1/2]使得：（上限1/2,下限0）∫ x三次方*f（x）dx=(1/2)η三次方*f(η)
两边乘以2后得η三次方*f(η)=2*∫ x三次方*f（x）dx=f(1)
即：η三次方*f(η)=f(1)
设g(x)=x三次方*f(x),则g(1)=f(1),g(η)=η三次方*f(η)=f(1)
因此g(x)在[η,1]内满足罗尔定理条件,由罗尔定理,存在k∈(η,1)包含于(0,1)内
使得：g'(k)=0,g'(x)=3x平方*f(x)+x三次*f '(x)
得：3k平方*f(k)+k三次*f '(k)=0即：k*f”（k）+3f（k）=0