由圆X方+Y方=9外一点P(5.12)引圆的割线交圆于A,B两点,求弦AB中点M的轨迹方程

题目

由圆X方+Y方=9外一点P(5.12)引圆的割线交圆于A,B两点,求弦AB中点M的轨迹方程

答案

符合题意的直线为y-12=k(x-5)
得：y=k(x-5)+12
圆x平方+y平方=9外一点P（5,12）引直线交圆于A,B两点.所以：
x^2+y^2=9
x^2+[k(x-5)+12]^2=9
联立两方程得：x^2+k^2*x^2-10k^2*x+24kx+25k^2+144-9=0
(k^2+1)x^2-(10k^2-24k)x+25k^2+135=0
相切时diata=(10k^2-24k)^2-4*(k^2+1)*(25k^2+135)=0
得k的两个值,这两值为K的两个最大和最小值（不能等于,因为相交,有两交点,不能相切一个交点）
两交点的中点为：x=(x1+x2)/2=(5k^2-12k)/(k^2+1) A
y=k(x-5)+12=kx-5k+12
y=(y1+y2)/2=k*(x1+x2)/2-5k+12 B
由A和B两方程,消去K,即得弦AB中点M的轨迹方程.而由K的取值范围可得X的取值范围.