设f(x)有二阶函数,且f'(x)>0,limx趋于0f(x)/x=1.证明:当x>0时,有f(x)>x
题目
设f(x)有二阶函数,且f''(x)>0,limx趋于0f(x)/x=1.证明:当x>0时,有f(x)>x
答案
由条件,f(0)=lim f(x)=lim f(x)/x * lim x=1*0=0.
且f'(0)=lim (f(x)-f(0))/x=lim f(x)/x=1.
以上极限都是x趋于0.
因为f''(x)>0,故f‘(x)是严格递增的,故f'(x)>f'(0)=1,
令g(x)=f(x)-x,g'(x)=f'(x)-1>0,当x>0时,
g(x)是递增的,故g(x)>g(0)=f(0)-0=0,于是得
f(x)>x,当x>0时.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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