过正方形ABCD的顶点A在图形内作∠EAF=45°,E、F分别在BC、CD上,连结EF,作AH⊥EF于H,试说明AH=AB

题目

过正方形ABCD的顶点A在图形内作∠EAF=45°,E、F分别在BC、CD上,连结EF,作AH⊥EF于H,试说明AH=AB
我承认我很笨!

答案

延长CB到点G,使得：BG = DF .
因为,在△ABG和△ADF中,
AB = AD ,∠ABG = 90°= ∠ADF ,BG = DF ,
所以,△ABG ≌ △ADF ,
可得：AG = AF ,∠BAG = ∠DAF .
∠EAG = ∠EAB+∠BAG = ∠EAB+∠DAF = 90°-∠EAF = 45°= ∠EAF .
因为,在△AEF和△AEG中,
AF = AG ,∠EAF = ∠EAG ,AE为公共边,
所以,△AEF ≌ △AEG ,
可得：AH = AB .（全等三角形对应边上的高相等）