求证：关于x的方程x2+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4．

题目

求证：关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4．

答案

证明：必要性，∵关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2，
∴

(2a)2−4b≥0 − 2a 2 ＜2 f(2)＞0

，即

4a2−4b≥0 a＞−2 4+4a+b＞0

，
∴方程有实数根且两根均小于2时，不能得出a≥2，且|b|≤4；
∴必要性不成立．
充分性，∵二次函数f（x）=x²+2ax+b的对称轴为x=-a，
当a≥2时，-a≤-2＜2，
又|b|≤4，∴f（2）=4+4a+b＞0，
△=（2a）²-4b=4a²-4b＞0，
∴二次函数f（x）的图象与x轴有两个交点，横坐标均小于2；
∴方程x²+2ax+b=0有实数根，且两根都小于2；
∴充分性成立．
所以，关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4．

根据方程x²+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2，转化成关于a、b 的不等式，解不等式得出a、b的范围，证明必要性是否成立，
根据a、b满足a≥2且|b|≤4的条件，判定关于x的方程x²+2ax+b=0 有实数根，且两根均小于2，证明充分性是否成立．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：本题考查了二次函数、一元二次方程以及二次不等式的问题，解题时应结合这3个“二次”之间的关系，得出解答问题的条件，是易错题．