f(x)=a-2/(x+1),若函数g(x)=f(2的x次方）是奇函数,求a的值

题目

f(x)=a-2/(x+1),若函数g(x)=f(2的x次方）是奇函数,求a的值

答案

因为 f(x)=a-2/(x+1),所以 g(x)=f(2^x)=a-2/(2^x+1),
g(-x)=a-2/(2^(-x)+1),而g(x)是偶函数,所以g(x)+g(-x)=0.因此
g(x)+g(-x)
=a-2/(2^x+1)+a-2/(2^(-x)+1) (对2/(2^x+1),2/(2^(-x)+1)两式通分)
=2a-2*[2^x+1+2^(-x)+1]/[(2^x+1)(2^(-x)+1)]
=2a-2*(2^x+2^(-x)+2)/(2^x+2^(-x)+2)
=2a-2=0
所以a=1.即a为1时 g(x) 是奇函数.
另：考虑到g(x)=f(2^x)=a-2/(2^x+1) 在x=0 处有定义,而在0点有定义的奇函数在0处的取值一定为0,所以也可以直接令x=0代入,此时 g(x)=0,也可以得到a=1时 g(x)是奇函数.