假设方阵A,B满足方程A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证明A和A+B都可逆

题目

假设方阵A,B满足方程A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证明A和A+B都可逆

答案

证明:由已知 A^2+AB+B^2=0
所以有 A(A+B) = -B^2
而由已知 B 可逆,所以 |B|≠0,所以 |B^2| = |B|^2 ≠ 0
所以 |A||A+B| = |A(A+B)| = |B^2| ≠ 0
所以 |A| ≠ 0,|A+B| ≠0
所以 A,A+B 都可逆.