求使得9n−1n+7为有理数的正整数n的值．
题目
答案
由n是正整数，
为有理数当且仅当（n+7）•
=
为有理数．
而（9n-1）（n+7）是整数，其平方根若为有理数则必为整数．
设非负整数m满足m
2=（9n-1）（n+7）=9n
2+62n-7．
则9m
2=（9n）
2+62（9n）-63=（9n+31）
2-31
2-63=（9n+31）
2-1024．
即有1024=（9n+31）
2-9m
2=（9n+31+3m）（9n+31-3m）．
9n+31+3m是1024的约数．
n是正整数，m是非负整数，故9n+31+3m是大于31的整数．
此外，易见9n+3m+31除以3余1．
满足条件的1024的约数有64，256，1024．
若9n+31+3m=64，有9n+31-3m=
=16，解得n=1．
若9n+31+3m=256，有9n+31-3m=
=4，解得n=11．
若9n+31+3m=1024，有9n+31-3m=
=1，解不为整数．
可验证n=1时
=1，n=11时
=
为有理数．
故满足条件的正整数为1，11．
由n是正整数，9n−1n+7为有理数当且仅当（n+7）•9n−1n+7=(9n−1)(n+7)为有理数．而（9n-1）（n+7）是整数，其平方根若为有理数则必为整数．即有1024=（9n+31）2-9m2=（9n+31+3m）（9n+31-3m）．9n+31+3m是1024的约数．n是正整数，m是非负整数，故9n+31+3m是大于31的整数．此外，易见9n+3m+31除以3余1．满足条件的1024的约数有64，256，1024．再求即可．
二次根式的性质与化简．
本题考查了二次根式的性质与化简．关键是得出9n+31+3m是1024的约数．n是正整数，m是非负整数，故9n+31+3m是大于31的整数．
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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