已知数列An满足A1=1／2,且前n项和Sn满足Sn=n²An,则An

题目

已知数列An满足A1=1／2,且前n项和Sn满足Sn=n²An,则An

答案

s1=1/2
当n≥2时an=sn-s(n-1)
sn=n²[sn-s(n-1)]
(n²-1)sn=n²s(n-1)
[(n+1)/n]sn=[n/(n-1)]s(n-1)
令bn=[(n+1)/n]sn,则b(n-1)=[n/(n-1)]s(n-1),b1=1
于是bn=b(n-1),得bn为常数列,bn=b1=1
于是[(n+1)/n]sn=1
得sn=n/(n+1)
an=sn-s(n-1)=1/[n(n+1)]
当n=1时也满足
于是an通项公式为an=1/[n(n+1)]
……………………………………………………………………………………
法二
当n≥2时
an=sn-s(n-1)=n²an-(n-1)²a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
于是
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…
a2/a1=1/3
累乘得an/a1=2/[n(n+1)]
an=1/[n(n+1)]
当n=1时也满足
于是an通项公式为an=1/[n(n+1)]