准对角矩阵可对角化的充要条件是每一块都可对角化,的必要性证明,麻烦给下思路,

题目

准对角矩阵可对角化的充要条件是每一块都可对角化,的必要性证明,麻烦给下思路,

答案

　利用空间的观点比较简单.
　　当然这里需要用到一个结论：如果矩阵A可对角化,那么我们知道A有特征子空间的直和分解

　那么对A的任何不变子空间W,我们有

这个结论看起来简单,但是证明起来并不是那么好做的.提示一下,利用范德蒙德行列式!


这样的话再来看本题,已知A是准对角阵

那么我们知道V有A的不变子空间的直和分解　


而A可对角化,因此他有特征子空间的直和分解,这样利用前面的结论可知对于每个Mi,A限制在它上面的Ai显然就有特征子空间的直和分解

从而A在每个Mi上的限制可对角化