一次函数f(x),f(8)=15,f(2)f(5)f(14)成等比,An=f(n),n∈N*,⒈求{An}前n项和Tn⒉设b=2^n,求{AnBn}前n项和Sn

题目

一次函数f(x),f(8)=15,f(2)f(5)f(14)成等比,An=f(n),n∈N*,⒈求{An}前n项和Tn⒉设b=2^n,求{AnBn}前n项和Sn

答案

设一次函数f(x)=kx+b,（k≠0）
则由f(8)=15得8k+b=15.
∵f(2), f(5), f(14)成等比数列,
∴[f(5)]²= f(2) f(14),即（5k+b）²=(2k+b)(14k+b),
化简得k(k+2b)=0,∵k≠0,∴k+2b=0,
由8k+b=15 且k+2b=0得k=2,b=-1,
∴f(x)=2x-1,An=f(n)=2n-1,n∈N*.
（1）由An=2n-1,n∈N*.可知{An}是等差数列,
∴其前n项和Tn=n².
（2）An=2n-1,n∈N*,Bn=2^n, n∈N*.
∴An Bn=(2n-1)2^n,n∈N*.
{AnBn}前n项和Sn=1×2+3×2²+5×2³+…+(2n-3)2^（n-1）+(2n-1)2^n,
2 Sn=1×2²+3×2³+5×2^4+…+(2n-3)2^n+(2n-1)2^(n+1),
两式相减,得
-Sn=2+2×2²+2×2³+…+2×2^（n-1）+2×2^n-(2n-1)2^(n+1)
=4（2^n-1）-2-(2n-1)2^(n+1)
=(3-2n) 2^(n+1)-6
∴Sn=(2n-3) 2^(n+1)+6 ,n∈N*.