(2012•广元三模)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,2),B(-3,1).若点P在线段AB上,且OP=mOA+nOB,则1m+9n有(  ) A.最小值-16 B.最大值-16 C.

(2012•广元三模)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,2),B(-3,1).若点P在线段AB上,且OP=mOA+nOB,则1m+9n有(  ) A.最小值-16 B.最大值-16 C.

题目
(2012•广元三模)平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(1,2),B(-3,1).若点P在线段AB上,且
OP
=m
OA
+n
OB
,则
1
m
+
9
n
有(  )
A. 最小值-16
B. 最大值-16
C. 最大值16
D. 最小值16
答案
设P(x,y),由A(1,2),B(-3,1)得直线AB的斜率k=
1
4
,由点斜式可得直线AB的方程为x-4y+7=0,
又点P在线段AB上,
OP
=m
OA
+n
OB

∴(x,y)=m(1,2)+n(-3,1),m>0,n>0
m−3n=x
2m+n=y
,又x-4y+7=0,
∴(m-3n)-4(2m+n)+7=0,
∴m+n=1.又m>0,n>0,
1
m
+
9
n
=(
1
m
+
9
n
)(m+n)=10+
n
m
+
9m
n
≥10+6=16(当且仅当n=3m,即m=
1
4
,n=时取到“=”).
故选D.
设P(x,y),由A(1,2),B(-3,1)可求得直线AB的方程为x-4y+7=0,再由点P在线段AB上,
OP
=m
OA
+n
OB
可求得m+n=1,代入
1
m
+
9
n
,利用基本不等式即可.

基本不等式;平面向量的基本定理及其意义.

本题考查基本不等式,考查平面向量的基本定理及其意义,正确理解题意,得到m+n=1是关键,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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