有n封信和n个对应的信封,现将信件随机装入信封,若恰有两封信装错的概率为1/4 ①求n的值②若ξ表示装错信件的个数,求随机变量ξ的分布列和数学期望

题目

有n封信和n个对应的信封,现将信件随机装入信封,若恰有两封信装错的概率为1/4 ①求n的值②若ξ表示装错信件的个数,求随机变量ξ的分布列和数学期望

答案

有n封信装入n个的信封共有装法A(n,n)
恰有两封信装错,即其它的n-2封信都装对了信封,剩下的两封信装入对方的信封,这两封装错的组合共有C(n,2)种
若恰有两封信装错的概率=C(n,2)/A(n,n)=1/4,解得n=4
ξ装错信件的个数,则ξ=0,2,3,4
P(ξ=0)=1/A(4,4)=1/24
P(ξ=2)=C(4,2)/A(4,4)=6/24=1/4
P(ξ=3)=C(4,1)*2/A(4,4)=8/24=1/3
P(ξ=4)=3*3/A(4,4)=9/24=1/8
Eξ=P(ξ=0)*0+P(ξ=2)*2+P(ξ=3)*3+P(ξ=4)*4=2
解毕