是否存在这样的正整数m使方程x^2-mx+m+2008=0根为非零整数?若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由.

题目

是否存在这样的正整数m使方程x^2-mx+m+2008=0根为非零整数?若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由.
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答案

x1+x2=m
x1x2=m+2008
两式相减：x1x2-x1-x2=2008
x1=(2008+x2)/(x2-1)=1+2009/(x2-1)
所以x2-1为2009的约数p,而2009=7*7*41.
x1-1为2009相对的约数2009/p
m=x1+x2=p+2009/p+2
2009的约数对有：（1,2009),(7,287),(49,41)
因此m有三个值：
1+2009+2=2012,
7+287+2=296
49+41+2=92