已知动抛物线的准线为y轴,且经过点(1,0),求抛物线焦点的轨迹方程

题目

已知动抛物线的准线为y轴,且经过点(1,0),求抛物线焦点的轨迹方程

答案

设抛物线的顶点(a,b),其方程为(y-b)^2=2p(x-a)(p>0),所以准线方程为：x=-p/2+a,又准线为y轴,
所以有-p/2+a=0,得p=2a.抛物线又过点(1,0),所以有(0-b)^2=2p(1-a),即b^2=4a(1-2a).
抛物线的焦点坐标为（p/2+a,b),所以有x=p/2+a=2a,y=b,得：a=x/2,b=y,把其代入到b^2=4a(1-2a),
得：y^2=2x(1-x),即：(x-1)^2+y^2=1(x>0).因此抛物线的焦点轨迹是除原点的圆.其方程为：
(x-1)^2+y^2=1(x>0).