f(x)有定义,f(2x)=f(x)cos x,lim f(x)=f(0)=1(x趋于0时),求f(x)

题目

f(x)有定义,f(2x)=f(x)cos x,lim f(x)=f(0)=1(x趋于0时),求f(x)
f(x)是零到正无穷上的正值连续函数，且1/f(x)在零到正无穷上的积分小于正无穷，
证明：1、存在数列Xn 满足｛Xn｝ 严格单调递增，lim Xn—>正无穷（n趋于无穷时）,
lim f(Xn)=正无穷（n趋于无穷时）
2、x 趋于无穷时 ,lim [f(t)在零到x上的积分]/x^2为正无穷。

答案

对任意x均有
f(x) = f(x/2)*cosx/2
= f(x/4)*cosx/2*cosx/4
=……
=∏(i = ∞)cos(x/2^i) * 1
f(x) = ∏(i = ∞)cos(x/2^i)