关于高中向量定理问题.

题目

关于高中向量定理问题.
书本中公式是：向量OP=向量OM+x向量MA+y向量MB.
向量OP＝x向量OA＋y向量OB＋z向量OM.
现在遇到一道题目是：已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外的任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A,B,M一定共面?（1)向量OP=向量OM+向量PA+向量PB,则P,A,B,M共面……请详细解释为什么?这与前面公式不符啊.（2）向量OP=1/3向量OA+1/3向量BA+1/3向量MA,则P,A,B,M共线……请详细解释为什么?这与前面公式不符啊.
难道那两个公式还能拓展?如果有,请推导一下.
前面那两个公式是共面向量公式。也就是向量OP与向量MA和向量MB共面的充要条件。

答案

其实你没有理解书中的公式：向量OP=向量OM+x向量MA+y向量MB.
向量OP＝x向量OA＋y向量OB＋z向量OM.
其中第二个公式中的x, y,z必须满足x+y+z=1才能判别P,A,B,M共面的.
也就是说如果: 向量OP＝x向量OA＋y向量OB＋z向量OM.,且x+y+z=1, 则P,A,B,M共面的. (1)
(1) 向量OP=向量OM+向量PA+向量PB
=向量OM+向量OA-向量OP+向量OB-向量OP
因此得到3向量OP=向量OA+向量OB+向量OP
从面向量OP=1/3向量OA+1/3向量OB+1/3向量OP
满足书上的结论,因此P,A,B,M共面.
(2) 向量OP=1/3向量OA+1/3向量BA+1/3向量MA
=1/3向量OA+1/3(向量OA-向量OB)+1/3(向量OA-向量OM)
=向量OA-1/3向量OB-1/3向量OM
前面的系数加起来等于1, 因此P,A,B,M共面.