“已知n为偶数”且n∈N+,a+b>0,求证b^(n-1)/a^n+a^n-1/b^n≥1/a+1/b

题目

“已知n为偶数”且n∈N+,a+b>0,求证b^(n-1)/a^n+a^n-1/b^n≥1/a+1/b

答案

b^(n-1)/a^n + a^(n-1)/b^n - 1/a - 1/b≥0
b^(n-1)/a^n - 1/a=[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n
[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n - [b^(n-1)-a^(n-1)]/b^n≥0
[b^(n-1)-a^(n-1)] ( 1/a^n - 1/b^n )≥0
不妨设b)≥a,则b^(n-1)>=a^(n-1)
因为a+b>0
则b>0,|b|)≥|a|
又n为偶数
b^n≥a^n>=0
1/a^n - 1/b^n)≥0
原式得证