已知a^2+a=2,求a^2003+a^2002-a^2001+a^2000+a^1999-a^1998+...+a^1982+a^1981-a^1980的值

题目

已知a^2+a=2,求a^2003+a^2002-a^2001+a^2000+a^1999-a^1998+...+a^1982+a^1981-a^1980的值

答案

a^2003+a^2002-a^2001 = (a^2+a-2)a^2001+a^2001 = a^2001.
依此类推, 所求式可化为a^2001+a^1998+...+a^1980.
由a^2+a = 2可以解得a = 1或-2.
代入a = 1得8.
代入a = -2, 由等比数列求和得2^1980·((-8)^8-1)/(-8-1) = -2^1980·(2^24-1)/9 = -1864135·2^1980.
有点怀疑题目条件写错了, 如果是a^2+a = 1答案会更整齐(一定为0).