如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,BC=2√2,EF分别是AD,PC的中点

题目

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,BC=2√2,EF分别是AD,PC的中点
1.证明PC⊥平面BEF
2.求平面BEF与平面BAP夹角的大小

答案

解法一 （Ⅰ）如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形.
∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2)
又E,F分别是AD,PC的中点,
∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1).
∴ =（2,2 √ 2,-2） =（-1,√ 2,1） =（1,0,1）,
∴ • =-2+4-2=0,• =2+0-2=0,
∴ ⊥ ,⊥ ,
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ,
则
∴ θ=45℃,∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45
解法二 （I）连接PE,EC在
PA=AB=CD,AE=DE,
∴ PE= CE,即 △PEC 是等腰三角形,
又F是PC 的中点,∴EF⊥PC,
又 ,F是PC 的中点,
∴BF⊥PC.
又