在R上可导的函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值.当x∈（1，2）时取得极小值，则b−2a−1的取值范围是（　　） A.(14，1) B.(12，1) C.(−

题目

在R上可导的函数f（x）=

1

3

答案

∵f（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，∴f′（x）=x²+ax+2b，
设x²+ax+2b=（x-x₁）（x-x₂），（x₁＜x₂）
则x₁+x₂=-a，x₁x₂=2b，
因为函数f（x）当x∈（0，1）时取得极大值，x∈（1，2）时取得极小值
∴0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2，-3＜a＜-1，0＜b＜1．∴-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2，
∴

1

4

＜

b−2

a−1

＜1，
故选A．