几道简单的微分方程

题目

几道简单的微分方程
拜托高手把步骤给我写详细些 我高数非常差 谢谢!
1.在给出的微分方程的通解中 按照所给的初始条件确定特解：
y=c1sin(x-c2), x=π时y=1 x=π时y'=0
2.一道题 解出来通解是In|y |=y/x-c1
然后他说 这个也可以写作y=Ce^y/x(C=正负e^-c1)
这个是怎么写出来的啊?

答案

1.∵y=C1sin(x-C2)
∴y'=C1cos(x-C2)
∵ x=π时,y'=0.即C1cos(π-C2)=0
∴cos(π-C2)=0 （∵x=π时,y=1.∴C1≠0）
==>π-C2=kπ+π/2 (k=0,±1,±2,±3,.)
==>C2=π/2-kπ
∵x=π时,y=1.即C1sin(π-C2)=1
∴C1sin(kπ+π/2)=1 ==>C1cos(kπ)=1
==>C1*(-1)^k=1
==>C1=1,k=2n (n=0,±1,±2,±3,.)
∴所求特解是y=1*sin(x-π/2+2nπ)
=sin(x-π/2)
=-sin(π/2-x)
=-cosx.
2.∵ln|y|=y/x-C1 ==>y=e^(y/x-C1)
==>y=e^(y/x)*e^(-C1)
令C=e^(-C1)
∴通解是y=Ce^(y/x) (C是积分常数)