已知抛物线y^2=2px(p>0)的内接三角形aob的垂心为焦点f 三角形aob面积为40根号5

题目

已知抛物线y^2=2px(p>0)的内接三角形aob的垂心为焦点f 三角形aob面积为40根号5
求（1）焦点坐标 （2）抛物线标准方程 （3）ab线段长

答案

(1)因为AOB的垂心为F(p/2,0)
所以AB⊥OF,设A(m^2/2p,m),B(m^2/2p,-m)
那么,OA所在直线斜率为2p/m,FB所在直线斜率为2pm/(p^2-m^2)
所以(2p/m)·(2pm/(p^2-m^2))=-1,即m^2=5p^2……①
又AOB面积为m^3/2p=40√5……②
则联立①②,得到m=4√5,p=4
焦点为(2,0)
(2)抛物线方程为y^2=8x
(3)AB长为2m=8√5