已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．

题目

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．

答案

证法1：如答图所示，连接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM，
∴CM=2BM．
证法二：如答图所示，过A
作AD∥MN交BC于点D．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴N是AB的中点．
∵AD∥MN，
∴M是BD的中点，即BM=MD．
∵AC=AB，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BAD=∠BNM=90°，
∴AD=

1

2

BD=BM=MD，
又∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=DC，BM=MD=DC，
∴CM=2BM．