已知对每一个实数x和y,函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)+xy若f(1)=m,则满足f(n)=2014的正整数对(n,m)共有

题目

已知对每一个实数x和y,函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)+xy若f(1)=m,则满足f(n)=2014的正整数对(n,m)共有

答案

f(n)=mn-n(n-1)/2=n[m-(n-1)/2]=2014,其中m,n均为正整数
n若为偶数,则m-(n-1)/2就不会是正整数,所以n只能为奇数2014=2x19x53
所以2014=1x2014
或2014=2x1007
或2014=19x106
或2014=53x38
所以m=2014,n=1
或m=505,n=1007
或m=115,n=19
或m=64,n=53
所以满足的共有4对