如图,ABCD是面积为a2的任意四边形,顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2,重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn,则四边形
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如图,ABCD是面积为a2的任意四边形,顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2,重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn,则四边形
题目
如图,ABCD是面积为a
2
的任意四边形,顺次连接各边中点得到四边形A
1
B
1
C
1
D
1
,再顺次连接A
1
B
1
C
1
D
1
各边中点得到四边形A
2
B
2
C
2
D
2
,重复同样的方法直到得到四边形A
n
B
n
C
n
D
n
,则四边形A
n
B
n
C
n
D
n
的面积为 ___ .
答案
连接AC,BD.
∵四边形A
1
B
1
C
1
D
1
是顺次连接各中点得到的,
∴
B
A
1
BA
=
B
B
1
BC
=
A
1
B
1
AC
=
1
2
,
故△BB
1
A
I
∽△BCA,相似比为
1
2
,面积比为
1
4
,即S
△BB1AI
=
1
4
S
△BCA
,
同理可得S
△DD1C1
=
1
4
S
△DAC
,即S
△BB1AI
+S
△DD1C1
=
1
4
(S
△DAC
+S
△BCA
)=
1
4
S
四边形ABCD
,
同理可得S
△CC1B1
+S
△AA1D1
=
1
4
S
四边形ABCD
,故
S
△BB1AI
+S
△DD1C1
+S
△CC1B1
+S
△AA1D1
=
1
2
S
四边形ABCD
,
则S
四边形A1B1C1D1
=
1
2
S
四边形ABCD
=
a
2
2
,
同理可得第二个小四边形的面积为
1
2
×
a
2
2
即
a
2
2
2
.
第三个面积为
a
2
2
3
,以此类推第n个四边形的面积为
a
2
2
n
.
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