设点P(x0,y0)为直线x+3y-6=0上的点,若在圆O:x^2+y^2=3上存在点Q,使角OPQ=60度(O为坐标原点)
题目
设点P(x0,y0)为直线x+3y-6=0上的点,若在圆O:x^2+y^2=3上存在点Q,使角OPQ=60度(O为坐标原点)
则x0的取值范围是?
为什么要求OP〈=2,才存在角OPQ=60度?
答案
分析:圆O外有一点P,圆上有一动点Q,∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值.如果OP变长,那么∠OPQ可以获得的最大值将变小.因为sin∠OPQ= ,QO为定值,即半径,PO变大,则sin∠OPQ变小,由于∠OPQ∈(0,),所以∠OPQ也随之变小.可以得知,当∠OPQ=60,且PQ与圆相切时,PO=2,而当PO>2时,Q在圆上任意移动,∠OPQ<60恒成立.因此,P的取值范围就是PO≤2,即满足PO≤2,就能保证一定存在点Q,使得∠OPQ=60°,否则,这样的点Q是不存在的.
由分析可得:PO2=x02+y02
又因为P在直线L上,所以x0=-(3y0-6)
故10y02-36y0+3≤4
解得即x0的取值范围是 ,
故答案为 [0,6/5]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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