一道基本的解析几何证明

题目

一道基本的解析几何证明
过抛物线y2=2px上的两点A、B分别引抛物线的切线,其交点恰在抛物线的准线上,求证直线AB经过抛物线的焦点.

答案

∵A、B都在抛物线y^2＝2px上,
∴可设A、B的坐标分别为（m^2/（2p）,m）、（n^2/（2p）,n）.
∴AB的斜率k＝（m－n）/［m^2/（2p）－n^2/（2p）］＝2p/（m＋n）.
对y^2＝2px求导数,得：2yy′＝2p,∴y′＝p/y.
∴过A的切线斜率＝p/m、过B的切线斜率＝p/n.
∴过A的切线方程是：y－m＝（p/m）［x－m^2/（2p）］,
　过B的切线方程是：y－n＝（p/n）［x－n^2/（2p）］.
联立：y－m＝（p/m）［x－m^2/（2p）］、y－n＝（p/n）［x－n^2/（2p）］,消去y,得：
m－n＝（p/n）［x－n^2/（2p）］－（p/m）［x－m^2/（2p）］,
∴m－n＝px（1/n－1/m）＋（1/2）（m－n）,
∴m－n＝px（m－n）/（mn）＋（1/2）（m－n）,
∴1＝px/（mn）＋1/2,∴1/2＝px/（mn）,∴x＝mn/（2p）.
∵两切线的交点在抛物线的准线上,而抛物线的准线显然是x＝－p/2,∴mn/（2p）＝－p/2,
∴mn＝－p^2.
很明显,抛物线的焦点F的坐标是（p/2,0）.
∴AF的斜率k1
＝（m－0）/［m^2/（2p）－p/2］＝2mp/（m^2－p^2）＝2mp/（m^2＋mn）＝2p/（m＋n）.
∵k＝k1,∴点F在直线AB上,∴AB经过抛物线的焦点.