设命题P:函数f(x)=x2-2ax在(1,+∞)上递增;命题Q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.若P或Q为真,P且Q为假,求a的取值范围.
题目
设命题P:函数f(x)=x2-2ax在(1,+∞)上递增;命题Q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.若P或Q为真,P且Q为假,求a的取值范围.
答案
函数f(x)=x
2-2ax的图象为开口向上的抛物线,对称轴为x=a,
要使函数f(x)=x
2-2ax在(1,+∞)上递增,只需a≤1;
函数y=lg(ax
2-x+a)的定义域为R,即对任意x都有ax
2-x+a>0恒成立,
故可得
,解得
a>.
当P或Q为真,P且Q为假时,可得P,Q一真一假,
∴若P真,Q假,由
可得
a≤,
若Q真,P假,则由
可得a>1,
故a的取值范围为:
a≤,或a>1
可得P真需a≤1;Q真需
a>,由复合命题的真假可知Q一真一假,分P真,Q假,和Q真,P假两类,由集合的运算可得a的范围.
复合命题的真假.
本题考查复合命题的真假,涉及二次函数的应用,属基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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