（急）多元函数微积分证明题

题目

（急）多元函数微积分证明题
设函数u=f(x,y,z),x=rsinψcosθ,y=rsinψsinθ,z=rcosψ,其中f具有连续偏导数,证明：
1.如果xdu/dx+ydu/dy+zdu/dz=0,则u仅是ψ和θ的函数;
2.如果(du/dx)/x=(du/dy)y=(du/dz)/z,则u仅是r的函数、
偏导符号打不出来,用d代替.

答案

1.du/dr = du/dx * dx/dr + du/dy * dy/dr + du/dz * dz/dr= du/dx sinψcosθ + du/dy sinψsinθ + du/dz cosψ= 1/r [xdu/dx + ydu/dy +zdu/dz) =0所以u与r无关,只是ψ和θ的函数2.同理,du/dθ = du/dx dx/dθ + ...