已知三角形ABC三个内角A,B,C成等差数列,其外接圆半径为1,有sinA-cosC+√2/2cos(A-C)=√2/2,求A,B,C和面积

题目

已知三角形ABC三个内角A,B,C成等差数列,其外接圆半径为1,有sinA-cosC+√2/2cos(A-C)=√2/2,求A,B,C和面积

答案

如A,B,C成等差,显然B=π/3
sinA-sinC+√2/2cos(A-C)=√2/2
这个方程用构造一元二次方程来解.
由和差化积公式,易得:
①sinA-sinC
=2cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]
=2cos(B/2)sin[(A-C)/2]
=sin[(A-C)/2]
另一部分可以升幂降角
√2/2cos(A-C)
=√2/2[1-2sin^2[(A-C)/2])
=√2/2-√2sin^2[(A-C)/2]
设sin[(A-C)/2]=x
原方程:
x-√2x^2=0
解得x=√2/2 或 x=0
当sin[(A-C)/2]=√2/2时
A-C=A-(π-B-A)=2A-2π/3
故sin(A-π/3)=√2/2
A-π/3=asin(√2/2)=45° A=7π/12
当sin[(A-C)/2]=0时
sin(A-π/3)=0
sinA=√3cosA
tanA=√3 A=π/3 故C也为π/3
代入原方程,检验成立
综上,得A=π/3 或 A=7π/12