已知方程x^2+4ax+3a+1=0,(a>1) 的两根为tan a、tan b,且a、b∈（-∏/2,∏/2）,则tan[(a+b)/2]=()?

题目

已知方程x^2+4ax+3a+1=0,(a>1) 的两根为tan a、tan b,且a、b∈（-∏/2,∏/2）,则tan[(a+b)/2]=()?

答案

tana+tanb=-4a,tana*tanb=3a+1
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)=-4a/(-3a)=4/3
∵a>1 ∴-4a＜0,3a＋1＞0
∴tana<0,tanb<0
∵a,b∈（-∏/2,∏／2）
∴a,b∈（－∏／2,0）
a+b∈（-∏,0）
(a+b)/2∈（－∏／2,0） ∴tan[(a+b)/2]＜0
令t=tan[(a+b)/2],则
2t/(1-t²）＝4/3
t=1/2或t=-2
∴tan[(a+b)/2]=-2