如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=AE,AC=AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N.将△ADE绕点A旋转,在旋转的过程中,请探究∠ANB与∠BA

如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=AE,AC=AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N.将△ADE绕点A旋转,在旋转的过程中,请探究∠ANB与∠BA

题目
如图,点A是△ABC和△ADE的公共顶点,∠BAC+∠DAE=180°,AB=AE,AC=AD,点M是DE的中点,直线AM交直线BC于点N.将△ADE绕点A旋转,在旋转的过程中,请探究∠ANB与∠BAE的数量关系,并加以证明.
答案
∠ANB+∠BAE=180°.
证明:延长AM到F,使MF=AM,连接DF、EF.
∵点M是DE的中点,
∴DM=ME,
∴四边形ADFE是平行四边形,
∴AD∥FE,AD=EF,
∴∠DAE+∠AEF=180°,
∵∠BAC+∠DAE=180°,
∴∠BAC=∠AEF,
∵AC=AD,
∴AC=EF,
在△ABC与△EAF中,
AC=EF
∠BAC=∠AEF
AB=AE

∴△ABC≌△EAF,
∴∠B=∠EAF,
∵∠ANB+∠B+∠BAF=180°,
∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180°,
即∠ANB+∠BAE=180°.
延长AM到F,使MF=AM,连接DF、EF.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可证四边形ADFE是平行四边形,根据平行四边形的性质和已知条件可证△ABC≌△EAF,根据全等三角形的性质即可得到∠ANB与∠BAE的数量关系.

旋转的性质;全等三角形的判定与性质.

考查了全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定和性质,本题关键是作出辅助线构造全等三角形,综合性较强,难度较大.

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