已知向量a=(-2cosθ,cosx),b=(2sinθ,-sinx),c=(1/2,-1)(1)若a*c=1/3,b*c=1/4(1)求cos(θ-x)

题目

已知向量a=(-2cosθ,cosx),b=(2sinθ,-sinx),c=(1/2,-1)(1)若a*c=1/3,b*c=1/4(1)求cos(θ-x)
(2)设θ=π/3,求f(x)=a^2+a*b+根3的最大值及单调递增区间.

答案

1.a*c=-cosθ-cosx=1/3
cos²θ+2cosθcosx+cos²x=1/9 (1)
b*c=sinθ+sinx=1/4
sin²θ+2sinθsinx+sin²x=1/16 (2)
(1)+(2) 2+2cos(θ-x)=25/144
所以cos(θ-x)=-263/288
2.f(x)=4*(1/2)²+cos²x-4*(1/2)*(√3/2)-sinxcosx+√3
=1+cos²x-(1/2)sin2x
=(1/2)(cos2x-sin2x)+3/2
=(√2/2)cos(2x+π/4)+3/2
可见f(x)最大值=(√2+3)/2
单调递增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]
x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8]