在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问怎么样做能使梯形的面积最大?高数..

题目

在半径为R的半圆内作一个内接绨形,梯形底是圆的直径,其它三边为半圆的弦,问怎么样做能使梯形的面积最大?高数..
sqrt3是什么呀?S｛max｝呢?

答案

这个不难,由于圆中两平行弦所夹的弧相等,因此梯形为等腰梯形
设上底所对的圆心角的一半为θ(θ∈(0,π/2）),则此弦的弦心距为Rcosθ,上底为2Rsinθ
S＝1/2*（2R+2Rsinθ)*Rcosθ=R^2(1+sinθ)cosθ
然后就是求S＝f(θ)的最大值
求导,有多种求法,就用乘法的求导法则
S'＝R^2[cosθ*cosθ-(1+sinθ)sinθ]=R^2[(cosθ)^2-sinθ-(sinθ)^2]
令S'＝0,则(cosθ)^2＝sinθ+(sinθ)^2,把(cosθ)^2换成1-(sinθ)^2
2(sinθ)^2+sinθ-1=0,θ∈(0,π/2）
因此得sinθ＝1/2或-1(舍)
带入S,即得S{max}＝3/4*(sqrt3)R^2
中间不是求导了吗,就是运用微积分知识.