若X~N(u,σ的平方),则a为一个实数,证明P(X=a)=0.

题目

若X~N(u,σ的平方),则a为一个实数,证明P(X=a)=0.
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答案

正态分布的分布函数你应该知道是什么样的,是R上的连续函数.
证明：
首先,P(X=a)>=0,
假设P(X=a)>0,记P(X=a)=c,记X的分布函数为F(x),
则由分布函数定义,F(a+0)-F(a-0)=c>0,由此知a是F(x)的间断点,这与F(x)在R上连续矛盾.
因此假设不成立,P(X=a)=0.