基本拉格朗日插值多项式 证明题

题目

基本拉格朗日插值多项式 证明题
Li（x）是基本拉格朗日插值多项式,节点x0,x1,...,xn 互异,证明：∑i=0到n[ Li（x）*（xi）^k]=x^k (k=0,1,2.n)

答案

记f(x)=∑(i=0到n)[Li(x) * (xi)^k] - x^k, 则f(x)的次数至多为n次,同时f(xi)=0, i=0,1,...n, 即f(x)有n+1个不同的零点,由代数基本定理可得f(x)≡0,所以∑(i=0到n)[Li(x) * (xi)^k] = x^k.