问一道题目哈:已知函数f(x)=ax^2+(2a-1)x-3在区间〔-1.5,2〕上的最大值为1,求实数a的值.

问一道题目哈:已知函数f(x)=ax^2+(2a-1)x-3在区间〔-1.5,2〕上的最大值为1,求实数a的值.

题目
问一道题目哈:已知函数f(x)=ax^2+(2a-1)x-3在区间〔-1.5,2〕上的最大值为1,求实数a的值.
答案
我的回答怎么是匿名的!
正巧,这题我刚回答过.
储备知识:对于二次函数y=ax²+bx+c (a>0),
当a≤x≤b时
1)若 b<-b/2a 【直线x=-b/2a是二次函数y=ax²+bx+c的对称轴】
则 ymax=f(a),ymin=f(b) 【min指最小值,max指最大值】
2)若 (a+b)/2≤-b/2a≤b
则ymax=f(a),ymin=f(b)
3)若 a<-b/2a<(a+b)/2
则ymax=f(b),ymin=f(a)
4)若a>-b/2a
则ymax=f(b),ymin=f(a)
【a<0的情况与a>0正好相反,故不写了】
答案:a的取值3/4或-2-4√2
函数y=ax²+(2a-1)x-3
(-b/2a)=(1-2a)/2a
1)当a>0时
① 2≤(1-2a)/2a,
即a≤1/6时
ymax=f(-3/2)=1
得 (9/4)a-(3/2)•(2a-1)-3=1
a=-10/3(不符合题意,舍去)
②当1/4≤(1-2a)/2a≤2 【1/4=[(-3/2)+2]/2】
即1/6≤a≤2/5时
ymax= f(-3/2)=1
得 (9/4)a-(3/2)•(2a-1)-3=1
a=-10/3(不符合题意,舍去)
③当 -3/2≤(1-2a)/2a≤1/4
即a≥-1,a≥2/5
a≥2/5时
ymax=f(2)=1
4a+2(2a-1)-3=1
8a=6
a=3/4
④当 -3/2≥(1-2a)/2a
即 a≤-1(不符合题意,不讨论)
2)当a<0时
①当2≤(1-2a)/2a
即a≤1/6时
ymax=f(2)=1
4a+2(2a-1)-3=1
8a=6
a=3/4(不符合题意,舍去)
②当 2/3≤(1-2a)/2a≤2
即a≤1/6,a≤-1
a≤-1时
ymax=f(-b/2a)=1
(4ac-b²)/4a=1【f(-b/2a)= (4ac-b²)/4a】
[-12a-(2a-1)²]/4a=1
得4a²+12a+1=0
a=-2±4√2
因为-2+4√2>-1(不符合题意,舍去)
所以 a=-2-4√2
③当-3/2≥(1-2a)/2a时
a≥-1
ymax= f(-3/2)=1
得 (9/4)a-(3/2)•(2a-1)-3=1
a=-10/3(不符合题意,舍去)
综上所述,a的取值3/4或-2-4√2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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