在l:X+Y-4=0上任意一点M,过M并且以椭圆X2/16+Y2/12=1的焦点为焦点作椭圆,问M,在和处时,椭圆长轴最短?并求此椭圆方程.
题目
在l:X+Y-4=0上任意一点M,过M并且以椭圆X2/16+Y2/12=1的焦点为焦点作椭圆,问M,在和处时,椭圆长轴最短?并求此椭圆方程.
x^2/16+y^2/12=1
a^2=16,b^2=12,c=2
在l:X+Y-4=0上任意一点M
xM=n,yM=4-n
M(n,4-n)
过M(n,4-n)并且以椭圆x^2/16+y^2/12=1的焦点为焦点作椭圆
c=2,b^2=a^2-c^2=a^2-4>0
n^2/a^2+(4-n)^2/(a^2-4)=1
(a^2-4)*n^2+a^2*(4-n)^2=a^2*(a^2-4)
(2a^2-4)n^2-8a^2*n+20a^2-a^4=0
未知数为n的上方程有实数解,则它的判别式△≥0,即
(-8a^2)^2-4*(2a^2-4)*(20a^2-a^4)≥0
2a^6-28a^4+80a^2≥0
2a^2*(a^2-4)*(a^2-10)≥0
2a^2>0,b^2=a^2-4>0
∴a^2≥10
a^2最小=10,b^2=a^2-4=6
椭圆长轴最短a=√10
这种解发计算量太大了,
这种解发计算量太大了,
答案
设椭圆焦点是F1,F2,实际上求的是在直线上找点M,使|F1M|+|F2M|最短,此为初中常见题.
不难知F1(-2,0),F2(2,0),F2关于直线的对称点为(4,2), 最短值为√[(-2-4)^2+(0-2)^2]=
2√10,即最短长轴长为2√10.
注:长轴长为2a
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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