设数列an的前n项和为sn=2an-2的n次幂,求an

题目

设数列an的前n项和为sn=2an-2的n次幂,求an

答案

(1)Sn=2an-2^n
n=1时,因为 S1=a1
a1=2a1-2
所以 a1=2
(2)Sn=2an-2^n ①
S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1) ②
①-②
an=2an-2a(n-1)-2^(n-1)
an=2a(n-1)+2^(n-1)
两边同时除以2^n
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1/2
所以 an/2^n -a(n-1)/2^(n-1)=1/2
所以 {an/2^n}是等差数列,首项为a1/2=1,公差为1/2
an/2^n=1+(1/2)(n-1)=(n+1)/2
所以 an=(n+1)/2 *2^n
即 an=(n+1)*2^(n-1)