用柯西不等式解的数学证明题

题目

用柯西不等式解的数学证明题
① 已知 2x^2 + 3y^2 ≤ 6 ,求证 x + 2y ≤ 11^0.5
② 已知 a^2 + b^2 = 1 ,求证 │acosθ + bsinθ│≤1
③ 已知 a,b∈R+,a+b=1,x1,x2∈R+,求证(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1*x2

答案

"√"代表根号
①由柯西不等式得：(1/2+4/3)(2x²+3y²)≥(x+2y)²,(2x²+3y²)≤6
(x+2y)²≤(1/2+4/3)(2x²+3y²)≤6(1/2+4/3)=11,两边均大于0,则：
x+2y≤√11
②由柯西不等式得:(a²+b²)(cos²θ+sin²θ)≥(acosθ+bsinθ)²
a²+b²=1,cos²θ+sin²θ=1,则：(acosθ+bsinθ)²≤1,两边均大于0,则：
│acosθ + bsinθ│≤1
③由柯西不等式得:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥[(√ax1·ax2)+(√bx1·bx2)]²
=[a(√x1x2)+b(√x1x2)]²
=[(√x1x2)(a+b)]²=x1x2
成立