如图,M、N分别为正方形ABCD的两边AD和DC的中点,CM与BN相交于点P. 求证:PA=AB.
题目
如图,M、N分别为正方形ABCD的两边AD和DC的中点,CM与BN相交于点P.
求证:PA=AB.
答案
证明:延长CM交BA延长线于E
,
∵M为中点,AB∥CD,
∴AE=CD=AB,
∴A是BE中点,
在△BCN与△CBM中,
,
∴△BCN≌△CDM(SAS),
∴∠CBN=∠DCM,
∴∠DCM+∠BNC=90°,∠CPN=90°
又∵A是RT△BPE斜边BE中点,
∴AP=AB.
延长CM交BA延长线于E,通过证明△BCN≌△CBM,所以∠CBN=∠DCM,所以∠DCM+∠BNC=90°,∠CPN=90°又因为A是RT△BPE斜边BE中点,进而证明AP=AB.
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质,题目的综合性较强,解题的关键是正确的作出辅助线,各种全等三角形.
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